Divisibilité par 3 - Corrigé

Énoncé

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) qui s'écrit en base \(10\) : \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0}\)
autrement dit : \(N=a_n \times 10^n+a_{n-1} \times 10^{n-1}+...+a_2 \times 10^2+a_1 \times 10^1+a_0\)  
avec `a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0` compris entre  \(0\) et \(9\) , et \(a_n \neq 0\) .

1. Quel est le reste dans la division euclidienne de \(10\)  par \(3\) ? de \(100\)  par \(3\) ? et de \(1000\) par \(3\) ?

2. Déterminer le reste possible dans la division euclidienne de \(10^n\) par \(3\) pour \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

3. Montrer que \(N \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \ [3]\) .

4. En déduire un critère de divisibilité par \(3\) .

Solution

1. On a :

• \(10 \equiv 1 \ [3]\) avec \(0 \leqslant 1 <3\)  
  donc le reste dans la division euclidienne de \(10\) par \(3\) vaut \(1\) ;
• \(100 \equiv 1 \ [3]\) avec \(0 \leqslant 1 <3\)  
  donc le reste dans la division euclidienne de \(100\) par \(3\) vaut \(1\) ;
• \(1000 \equiv 1 \ [3]\) avec \(0 \leqslant 1 <3\)  
  donc le reste dans la division euclidienne de \(1000\) par \(3\) vaut  \(1\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .
Comme \(10 \equiv 1 \ [3]\) ,  on en déduit que \(10^n \equiv 1^n \equiv 1 \ [3]\) , donc le reste dans la division euclidienne de \(10^n\) par \(3\) vaut \(1\) .

3. On a :
\(\begin{align*} N=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0} & = a_n \times 10^n +a_{n-1} \times 10^{n-1} +... +a_2 \times 10^2 +a_1 \times 10 +a_0 \\ & \equiv a_n \times 1 +a_{n-1} \times 1 +... +a_2 \times 1 +a_1 \times 1 +a_0 \ [3] \\ & \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \ [3] \end{align*}\)
donc \(N \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \ [3]\) .

4. On a :
\(\begin{align*} N \text{ est divisible par } 3 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ N \equiv 0 \ [3] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \equiv 0 \ [3] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \text{ est divisible par } 3 \end{align*}\)
donc \(N\) est divisible par \(3\) si, et seulement si, la somme des ses chiffres est divisible par \(3\) .